如果 ETH 价格翻倍，ETH 的 2 次方永续合约翻 4 倍，3 次方永续合约翻 8 倍，5 次方永续合约翻 32 倍。
Paradigm 此前还参与设计新型衍生品永恒期权和时间加权自动做市商，详情请阅读：
《SBF 和 Paradigm 研究合伙人构思新型衍生品：永恒期权（复制链接打开：https://www.chainnews.com/articles/337182519044.htm）》
《Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队勾勒新做市模型 TWAMM（复制链接打开：https://www.chainnews.com/articles/162570520373.htm）》
原文标题：《Paradigm 新作：乘方永续合约》（Power Perpetuals）
撰文：Dave White、Dan Robinson、Zubin Koticha、Andrew Leone、Alexis Gauba、Aparna Krishnan
翻译：路遥
Paradigm 近日设计了一种基于价格 N 次方的新型永续合约。本文暂译为乘方永续合约。整个 DeFi 衍生品赛道还处于萌芽期，Paradigm 每次的设计和思考都站在前沿，值得学习。
简介
本文介绍了一种新型的衍生品 — 乘方永续合约（Power Perpetual）。
如果 ETH 的价格翻倍，ETH 的 2 次方永续合约翻 4 倍，ETH 的 3 次方永续合约翻 8 倍，ETH 的 5 次方永续合约翻 32 倍。
当然，这种不对称的上涨并不是免费的。那些做多乘方永续合约的人需要定期支付溢价收益，给那些做空的人。
乘方永续合约提供了类似于全球期权的风险敞口，而不需要行权价或到期日，使其有可能将大部分期权市场的流动性，整合到单一的工具中。
从不少方面来讲，乘方永续合约都是 永续期权（复制链接打开：https://www.paradigm.xyz/2021/05/everlasting-options/） 合理的下一步。据我们所知，除我们外，研究人员 Wayne Nilsen 和 lllvvuu 也各自独立发现了这种产品。
机制
前提条件
乘方永续合约是 永续期权（复制链接打开：https://www.paradigm.xyz/2021/05/everlasting-options/） 中介绍的永续衍生品的一个特殊系列。
在本文接下来的内容中，我们将假设读者已经熟悉永续期权和 永续期货（复制链接打开：https://research.paradigm.xyz/cartoon-guide-to-perps） 的基本机制。
定义
乘方永续合约是指与某些标的资产价格的乘方挂钩的永续衍生品。在本文中，我们将假设这个标的资产是以太币。
对于任何乘方 p，ETH^p 乘方永续合约都是通过定期（如每天）支付的资金费用来维持的。如果在注资时，乘方永续合约的当前价格是 $MARK，做多乘方永续合约的人必须向做空的人支付 $(MARK-INDEX) = $(MARK-ETH^p)。
在乘方永续合约里，我们把这种资金费用称为 溢价收益 (premium yield)。因为这种费用通常是由多头向空头支付的溢价，以换取类似期权的风险敞口。
例子
考虑 ETH^2 乘方永续合约。
为简单起见，假设 ETH 的交易价格为 $3，而在支付资金时，ETH^2 乘方永续合约的交易价格为 $9.09。那么每份合约多头都将不得不向空头支付 $ (MARK-INDEX) = $(MARK-ETH^2) = $(9.09-3^2) = $9.09 – $9.00 = $0.09。
定价
概述
乘方大于 1 的永续合约具有正的 凸性，这意味着当价格对他们有利时，持有者赚钱更快，而当价格对他们不利时，亏钱则更慢。用期权的话说，我们说它们有正的伽马值 (gamma)。
就像期权通常以其 内在价值 的溢价交易一样，ETH^p 的乘方永续合约通常以 ETH 价格的 p 次幂的溢价交易。
推导
按照 永续期权论文 中的方法，我们可以先对即将到期的乘方衍生品进行定价，然后这些衍生品的组合进行定价，这个组合刚好相当于所需的永续合约。
下面我们将使用 Black-Scholes 假设来推导我们的价格。这些当然不是最合适的假设，但应该可以作为一个例子来说明做市商如何去给乘方永续合约估值。
在 Black-Scholes 假设下给一个即将到期的乘方衍生品定价要比给期权定价简单得多。有兴趣的读者可以在 StackExchange 这里（复制链接打开：https://math.stackexchange.com/questions/1015926/derivatives-pricing-w-squared-and-cubed-stock-prices/3954177#3954177） 找到一个快速推导。其价格为
其中 S 是现货价格，p 是乘方数，t 是到期时间，r 是漂移（drift）或者叫无风险利率，v 是年化波动率。
结合 永续期权论文 附录 B 中的永续期权定价方法，并对所得的几何数列进行求和，我们可以得到每期支付一次资金的乘方永续合约的价格表达式如下（假设数列收敛 — 见下文）：
其中 f 是以年为单位的注资期。
溢价收益（我们对融资率的新术语）可以计算为：
收敛性
我们总是可以对股票永续期权进行定价，而与之不同的是，配置不好的乘方永续合约可能会出现价格无法收敛的情况。特别是，我们只有在以下情况下才可以对乘方永续合约进行定价：
直观地说，乘方数和波动率越高，长期的临期乘方期货就越有价值；注资期越长，乘方永续合约的价值就越集中于长期的乘方期货。对某些组合来说，同等的投资组合可以变得无限有价值。
这个问题在实践中可以通过选择一个足够小的注资期来轻松避免。
例子
ETH^2 乘方永续合约
见 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb（复制链接打开：https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb）
在 Black-Scholes 假设下，ETH^2 乘方永续合约的价格为
在其他条件相同的情况下，当 ETH 价格 4 倍时，它会翻 16 倍。
我们亲切地称它为「squeeth」，是 「ETH 平方」的简称。
ETH^3 乘方永续合约
见 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb（复制链接打开：https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb）
ETH^3 乘方永续合约的价格为
在其他条件相同的情况下，ETH 价格翻 4 倍时，它将翻 64 倍。
你可以从图中清楚地看到永续合约的交易价格比其指数 ETH^3 要高，因为它为持有者提供了期权。
Python 定价实现
你可以在 这里（复制链接打开：https://github.com/para-dave/powerperps/） 看到乘方永续合约定价的 Python 实现，包括根据经验证明正确性的测试。
总结
乘方永续合约仍处于起步阶段，但我们从一开始就对其进行了深入的研究，并仍对其潜力感到非常兴奋。
如果你和我们一样对这种新东西感到好奇，我们很想听听你的想法。你可以发邮件给 [email protected]（复制链接打开：mailto:[email protected]），或 在 Twitter 上给我发私信，或通过 [email protected]（复制链接打开：mailto:[email protected]），联系 Opyn。
鸣谢：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewny
来源链接：www.paradigm.xyz（复制链接打开：https://www.paradigm.xyz/2021/08/power-perpetuals/）
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